La conjecture de Fermat

Texte de Fabien

D’abord, c’est quoi une conjecture ? Selon Wikipédia, en mathématiques, une conjecture c’est « une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore une démonstration mais que l’on croit fortement être vraie ». Par exemple : « Ce post va bien me faire chier » est une conjecture.

Pierre de Fermat (1607-1665) est un magistrat qui s’adonne aux mathématiques sur son temps libre. A quelqu’un qui lui disait : « C'est ton violon d’Ingres, en quelque sorte », Fermat répondit : « Mais t'es con ! On est au XVIIe siècle et Ingres n’est pas encore né. »

Un jour, il lit un bouquin, "Arithmétiques" de Diophante, où il est question des triplets pythagoriciens. Mais si, vous savez ce que c’est : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés opposés, soit a² + b² = c², le fameux théorème de Thalès (c’est pour voir si vous suivez). 
Comme il y a une infinité de triangles rectangles, il y a une infinité d’égalités de ce type. Et les cubes, se demande Fermat ? Est-ce que a³ + b³ = c³ ça marche à chaque fois ? Et plus généralement, est-ce que an + bn = cn, c’est toujours bon ? (J'arrive pas à écrire "a puissance n", faites comme si c'était bien écrit).
Fermat pense que NON. Il réfléchit très fort et écrit dans la marge de son bouquin : « J’ai une démonstration véritablement merveilleuse de cette proposition que cette marge est trop étroite pour contenir ». 

an + bn = cn, (a puissance n, etc. Faites pas chier) l’équation semble simple et on se dit qu’il sera facile de faire la démonstration et qu'effectivement, elle ne se vérifie pas pour tout n. En fait, non, la démonstration n’est pas évidente. Et l’affirmation de Fermat, sa « démonstration véritablement merveilleuse », va faire chier les mathématiciens pendant 350 ans. 

D’abord, c’est Leonhard Euler (1707-1783) qui s’y colle. Le gars est une sommité des mathématiques, « un des plus grands et des plus prolifiques mathématiciens de tous les temps », selon Wikipédia. Il arrive à faire la démonstration pour a³ + b³ = c³, mais sèche pour n. Quand Euler cale, tout le monde comprend que c’est coton.

Ensuite, Germain (1776-1831) s’y met. Sophie Germain est obligée de se faire passer pour un mec pour qu’on daigne lire ses travaux et la prendre au sérieux, lisez donc sa page Wikipédia. Elle prouve la conjecture de Fermat pour un certain type de nombres premiers, « les nombres premiers de Germain » : elle a en effet démontré que si n est un nombre premier, alors 2n + 1 est aussi un nombre premier. Elle a donc réussi la démonstration de la conjecture de Fermat pour tous ces nombres premiers là. Mais pas pour tout n. 

Le problème reste posé.

Alors on crée des prix et des récompenses pour motiver les troupes. 

En 1847, Lamé de son côté et Cauchy de l’autre affirment le même jour qu’ils ont trouvé la démonstration. En fait, il se plantent tous les deux. Lamé fait tout de même la démonstration pour a⁷ + b⁷ = c⁷.

Des mathématiciens de renom s'y collent. Je vous les passe mais ils sont plein à apporter leur petite pierre (de Fermat) à l'édifice, l'exercice leur permettant au passage de faire d'autres découvertes, d'inventer de nouveaux outils. Mais aucun n'arrive à faire cette putain de démonstration pour tout n.

Au début du XXe, la conjecture de Fermat est appelée la Joconde des mathématiques. On crée encore des prix. Entre 1908 et 1912, attirés par les récompenses, 1 000 tentatives sont proposées mais aucune n’est bonne. En fait, les mathématiciens ont quasiment abandonné, seuls des doux-dingues s’y essaient encore, un peu comme pour le mouvement perpétuel.

Et puis Kurt Gödel (1906-1978) achève tout le monde (le livre « Les démons de Gödel » est passionnant, je vous le conseille !). En 1931, dans le cadre de son théorème d’incomplétude, il démontre qu’on ne peut pas tout démontrer. Certains énoncés mathématiques sont indécidables. Alors on se dit que ça doit être le cas pour la conjecture de Fermat. Et tout le monde laisse tomber. 

Soudain, deux étudiants japonais étudient les formes modulaires. Soudain, ils font le lien avec un autre domaine des mathématiques, les fonctions elliptiques. Nous sommes en 1954. Ils s’appellent Shimura et Taniyama. Mais la démonstration est hard et c’est une nouvelle conjecture, celle de Taniyama-Shimura. Quel rapport avec mon propos ? Attendez voir.

Soudain, Andrew Wiles (né en 1953) est spécialiste des fonctions elliptiques. Lui, la conjecture de Fermat, c’est un rêve d’enfant. Certains rêvent d’être pompier, lui c’est de démontrer la conjecture de Fermat. Et la conjecture de Taniyama-Shimura, ce lien entre formes modulaires et fonctions elliptiques, ça le travaille et il entrevoit un lien avec la conjecture de Fermat. Il sait que la tâche est immense, que la démonstration de la conjecture de Fermat est quasiment insoluble, que c’est limite pas super sérieux de s’y intéresser. Alors, en 1986, il va travailler secrètement dessus. A ses collègues qui voient bien qu’il est super occupé, mais qu’est-ce tu fous Andrew ? , il répond « mais euh ! ». 
Il va bosser dessus 7 ans, seul et sans relâche. Il va faire, durant ces 7 années, d’autres découvertes mathématiques, qu’il ne va pas publier. Il veut d’abord terminer et dire « Tadiiinnnn ! », à la fin. C’est risqué, d’autres pourraient découvrir ses résultats intermédiaires avant qu'il ne les publie ; l’antériorité dans la recherche, c’est pas rien. Mais bon, lui il veut dire « Tadiinnn ! », à la fin.

En 1993, il fait finalement une conférence qui dure 3 jours ! Trois jours pour présenter 7 ans de travail. Et Powerpoint n’existait même pas. Au fur et à mesure de sa présentation, une rumeur enfle : «  Oh le con ! Tu vas voir qu’il a trouvé ! ». Jour après jour, de plus en plus de personnes assistent à sa conférence, et l'on entend des « Ooooh ! » et des « Aaaah ! » dans la salle, à chaque nouvelle découverte révélée.
 
Au terme de ses trois jours, il finit par démontrer la conjecture de Fermat et dit : « Je crois que je m’arrêterai ici. ». Il arrache alors sa chemise et saute dans la foule en délire, les gens pleurent, s’embrassent, hurlent de joie ! Enfin, c’est ce qui aurait dû se passer, mais les mathématiciens, à ce niveau, ils sont plus Asperger que rocker, alors ils ont dû dire : « Très belle démonstration, bravo ».

En fait, Andrew Wiles a commis une erreur et a dû bosser une année supplémentaire pour la corriger. Mais il y est parvenu. On parle désormais de théorème de Fermat-Wiles. La conjecture est morte.

Voici son théorème : 

"Il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs a, b et c tels que :

an + bn = cn (lire a puissance n, etc.🖕🏽)
dès que n est un entier strictement supérieur à 2."

Tout ça pour ça.

Et Fermat me direz-vous ? Eh bien il s’était gouré. Il n’avait pas les outils mathématiques, découverts plus tard, pour démontrer la conjecture de lui-même. Son intuition était bonne mais sa « démonstration véritablement merveilleuse », c’était du flan. 

A ce compte-là, je peux faire pareil : « J’ai une démonstration véritablement merveilleuse qui prouve qu’on doit tous prendre notre retraite à 50 ans, mais là j’ai piscine ». 
C’est la conjecture de Fabien. 
A vous de jouer.